দুই চলকবিশিষ্ট সরল সহসমীকরণের সমাধান

অষ্টম শ্রেণি (মাধ্যমিক) - গণিত - সরল সহসমীকরণ | | NCTB BOOK

দুই চলকবিশিষ্ট দুইটি সরল সমীকরণের সমাধানের পদ্ধতিগুলোর মধ্যে নিচের পদ্ধতি দুইটি আলোচনা
করা হলো :
(১) প্রতিস্থাপন পদ্ধতি (Method of Substitution)
(২) অপনয়ন পদ্ধতি (Method of Elimination)

(১) প্রতিস্থাপন পদ্ধতি

এই পদ্ধতিতে আমরা নিচের ধাপগুলো অনুসরণ করে সমাধান করতে পারি :

(ক) যেকোনো সমীকরণ থেকে চলক দুইটির একটির মান অপরটির মাধ্যমে প্রকাশ করা।

(খ) অপর সমীকরণে প্রাপ্ত চলকের মানটি স্থাপন করে এক চলকবিশিষ্ট সমীকরণ সমাধান করা।

(গ) নির্ণীত সমাধান প্রদত্ত সমীকরণ দুইটির যেকোনো একটিতে বসিয়ে অপর চলকের মান নির্ণয় করা।

উদাহরণ ১। সমাধান কর :
x + y =7
x - y = 3

সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণ
x + y = 7………………….(1)
x - y = 3…………………(2)

সমীকরণ (2) হতে পক্ষান্তর করে পাই,
x = y + 3...........(3)

সমীকরণ (3) হতে x এর মানটি সমীকরণ (1) -এ বসিয়ে পাই,
y + 3 + y =7
বা, 2y = 7 - 3
বা, 2y = 4
∴ y = 2
এখন সমীকরণ (3) এ y = 2 বসিয়ে পাই,
x = 2 + 3
∴ x = 5
নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (5, 2)

[শুদ্ধি পরীক্ষা : সমীকরণ দুইটিতে x = 5 ও y = 2 বসালে সমীকরণ (1)-এর বামপক্ষ = 5 + 2 = 7 = ডানপক্ষ এবং সমীকরণ (2)-এর বামপক্ষ = 5 - 2 = 3 = ডানপক্ষ।]

উদাহরণ ২। সমাধান কর :
x + 2y = 9
2x - y = 3
সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণ
x + 2y = 9……...……………..(1)
2x - y = 3…………………….(2)

সমীকরণ (2) হতে পাই, y = 2 x – 3……………………(3)

সমীকরণ (I) এ y এর মান বসিয়ে পাই, x + 2 (2x – 3) = 9
বা, x + 4x – 6 = 9
বা, 5 x = 6 +9
বা, 5 x = 15
বা, x = $\frac{15}{5}$
∴ x=3
এখন x এর মান সমীকরণ (3) -এ বসিয়ে পাই,
y = 2 x 3 - 3
= 6 - 3
= 3
নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (3,3)

উদাহরণ ৩। সমাধান কর :
2y + 5z = 16
y - 2z = -1

সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণ
2y + 5z = 16……………..(1)
y - 2z = -1………………….(2)

সমীকরণ (2) হতে পাই, y = 2z – 1……………………(3)

সমীকরণ (1) এ y এর মান বসিয়ে পাই,
2(2z-1)+5z = 16
বা, 4z - 2 + 5z = 16
বা, 9z= 16 + 2
বা, z = $\frac{18}{9}$
∴ x=3
এখন z এর মান সমীকরণ (3) -এ বসিয়ে পাই,
y = 2 x 3 - 3
= 6 - 3
∴ y = 3
নির্ণেয় সমাধান (y, z) = (3, 2)

উদাহরণ ৪। সমাধান কর :
$\frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 1$
$\frac{4}{x} - \frac{9}{y} = - 1$

সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণ
$\frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 1$ ……………..(1)
$\frac{4}{x} - \frac{9}{y} = - 1$ ………………….(2)

$\frac{1}{x} = u$ এবং $\frac{1}{y} = v$ ধরে (1) ও (2) নং সমীকরণ হতে পাই
2x + v = 3………….………(3)
4u - 9v = -1………………(4)

(3) নং সমীকরণ হতে পাই
v = 1 - 2u ………………..(5)

(4) নং সমীকরণে v এর মান বসিয়ে পাই, বা,

4u - 9 (1-2u) = -1

বা, 4u - 9 + 18 u = -1

বা, 22u = 9 – 1

∴ $u = \frac{8}{22} = \frac{4}{11}$

বা, $\frac{1}{x} = \frac{4}{11}$

∴ $x = \frac{11}{4}$

এখন, u এর মান (5) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

v = 1 - 2 $\times \frac{4}{11} = \frac{11 - 8}{11}$

∴ $v = \frac{3}{11}$

বা, $\frac{1}{y} = \frac{3}{11}$

∴ $y = \frac{11}{3}$

∴ নির্ণেয় সমাধান (x, y) = $(\frac{11}{4}, \frac{11}{3})$

(২) অপনয়ন পদ্ধতি

এই পদ্ধতিতে নিচের ধাপগুলো অনুসরণ করে সমাধান করা যায় :
(ক) প্রদত্ত উভয় সমীকরণকে এমন দুইটি সংখ্যা বা রাশি দ্বারা পৃথকভাবে গুণ করতে হবে যেন যেকোনো একটি চলকের সহগের সাংখ্যিক মান সমান হয়।
(খ) একটি চলকের সহগ একই চিহ্ন বিশিষ্ট হলে সমীকরণ পরস্পর বিয়োগ, অন্যথায় যোগ করতে হবে।
বিয়োগফলকৃত (বা যোগফলকৃত) সমীকরণটি একটি এক চলকবিশিষ্ট সরল সমীকরণ হবে।
(গ) সরল সমীকরণ সমাধানের নিয়মে চলকটির মান নির্ণয় করা।
(ঘ) প্রাপ্ত চলকের মান প্রদত্ত যেকোনো একটি সমীকরণে বসিয়ে অপর চলকের মান নির্ণয় করা।

উদাহরণ ৫। সমাধান কর :
5x - 4y = 6
x + 2y = 4

সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণ
5x - 4y = 6.………………….(1)
x+2y= 4.………………….(2)

(3) ও (4) সমীকরণ যোগ করে পাই,
7x = 14
বা, x = $\frac{14}{7}$ ………………….(4)

∴ x = 2

সমীকরণ (2) এx এর মান বসিয়ে পাই,
2 + 2y = 4
বা, 2y = 4 - 2
বা, y = $\frac{2}{2}$
∴ y = 1

নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (2, 1)

উদাহরণ ৬। সমাধান কর :
x + 4y = 14
7 x - 3y = 5

সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণ
x + 4y = 14………………..(1)
7x - 3y = 5………………..(2)

সমীকরণ (1) কে 3 দ্বারা এবং সমীকরণ (2) কে 4 দ্বারা গুণ করে পাই,

বা, x = $\frac{62}{31}$

∴ x = 2

এখন x এর মান সমীকরণ (1) -এ বসিয়ে পাই,
2 + 4y=14
বা, 4y = 14 - 2
বা, 4 y = 12
বা, y = $\frac{12}{4}$
∴ y = 3

∴ (x, y) = (2, 3)

উদাহরণ ৭। সমাধান কর :
5x - 3y = 9
3x - 5y = - 1

সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণ
5x - 3y = 9………………………(1)
3x - 5y = -1……………………..(2)

সমীকরণ (1) কে 5 দ্বারা এবং সমীকরণ (2) কে 3 দ্বারা গুণ করে পাই

বা, x = $\frac{48}{16}$

∴ x = 3

সমীকরণ (1) এ x এর মান বসিয়ে পাই,
5 × 3 - 3y = 9
বা, 15 - 3y = 9
বা, - 3y = 9 - 15
বা, - 3y = - 6
বা, y = $\frac{- 6}{- 3}$
∴ y = 2

∴ (x, y) = (3, 2)

উদাহরন ৮।
$\frac{x}{5} + \frac{3}{y} = 3$
$\frac{x}{2} - \frac{6}{y} = 2$

সমাধান :
প্রদত্ত সমীকরণ
$\frac{x}{5} + \frac{3}{y} = 3$ …………………….(1)
$\frac{x}{2} - \frac{6}{y} = 2$ …………………….(2)

(1) সমীকরণকে (2) দ্বারা গুণ করে (2) নং সমীকরণ এর সাথে যোগ করে পাই,
   $\frac{2 x}{5} + \frac{6}{y} = 6$ ………………….(3)
   $\frac{x}{2} - \frac{6}{y} = 2$ …………………….(4)
   $\frac{2 x}{5} + \frac{x}{2} = 8$
বা, $\frac{4 x + 5 x}{10} = 8$
বা, 9x = 8 × 10
বা, x = $\frac{80}{9}$

(1) নং সমীকরণে x এর মান বসিয়ে পাই,
$\frac{1}{5} \times \frac{80}{9} + \frac{3}{y} = 3$
বা, $\frac{16}{9} + \frac{3}{y} = 3$
বা, $\frac{3}{y} = 3 - \frac{16}{9}$
বা, $\frac{3}{y} = \frac{11}{9}$
বা, $y = \frac{27}{11}$
∴ নির্ণেয় সমাধান (x, y) = $(\frac{80}{9}, \frac{27}{11})$

Content added || updated By

Rezwan Siddiki Tamim

দুই চলকবিশিষ্ট সরল সহসমীকরণের সমাধান

দুই চলকবিশিষ্ট সরল সহসমীকরণের সমাধান

(১) প্রতিস্থাপন পদ্ধতি

(২) অপনয়ন পদ্ধতি

All Notifications

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Promotion